Hallo, mein Name ist Sebastian und ich bin Maschinenbaustudent an der Hochschule Darmstadt.
Heute präsentiere ich euch zum Thema Schwingungen den Versuchsaufbau des Zwei-Massen-Schwingers.
Schwingungen spielen beispielsweiße im Maschinenbau, dem Bauingenieurwesen und der Architektur eine große Rolle.
Wer kennt nicht die derart spektakulären Bilder von Brücken, die in Schwingungen geraten, dass sie letztendlich zerbrechen.
Doch was ist in diesem Zusammenhang eine Fußpunktanregung?
Hat man ein schwingungsfähiges System wie dieses, welches auf dem Boden steht und dieser selbst Schwingungen ausführt, spricht man von einer Fußpunktanregung.
Dies können zum Beispiel Erdstöße bei einem Erdbeben sein, die das Gebäude zum Schwingen bringen, oder die Schwingungen des Hallenbodens in einer Industriehalle, der Schwingungen von einer schlecht gelagerten Maschine über den Boden auf andere Maschinen überträgt.
Oder dieses Beispiel, das kennt sicher jeder: Ihr fahrt mit dem Auto über eine unebene Straße, zum Beispiel den alten Teil einer Autobahn mit Betonplatten.
Die regelmäßigen Stöße zwischen den Betonplatten regen das System Karosserie, Fahrwerk, Radaufhängung und Achsträger und schließlich die Räder zum Schwingen an.
Würde man jedoch schnell genug über die Autobahn fahren, so würde das Auto ab einer gewissen Geschwindigkeit ganz ruhig auf der Straße liegen.
Die Frage ist nun, wie lässt sich ein solches Schwingungssystem mathematisch beschreiben?
Welche Schlüsse lassen sich daraus ziehen und welche Erkenntnisse zum Beispiel für den Bau von erdbebensicheren Gebäuden?
Der Versuchsaufbau des fußpunkterregten Zwei-Massen-Schwingers besteht aus einem Elektromotor, der eine Exenterwelle antreibt, die für die Fußpunktanregung sorgt, der ersten Masse und der zweiten Masse, die mit einer Feder untereinander verbunden sind,
sowie eine Feder, die die Fußpunktanregung mit der zweiten Masse verbindet, sowie drei Wegsensoren, die die jeweiligen Massen detektieren.
Starten wir nun den Versuchsaufbau.
Man kann nun erkennen, dass die Fußpunktanregung die erste und die zweite Masse harmonisch schwingen lässt.
Kommen wir nun zum ersten Phänomen eines solchen Schwingungsverhaltens und zwar der ersten Resonanzfrequenz.
Es ist deutlich zu erkennen, dass die erste und die zweite Masse einen extremen Ausschlag aufweisen, im Gegensatz zur Fußpunktanregung.
Wir haben die erste Resonanzfrequenz nun durchschritten.
Kommen wir nun zum nächsten Phänomen, der Tilgung.
Bei der Tilgung kann man feststellen, dass trotzt weiterhin vorherrschender Fußpunktanregung, die zweite Masse komplett stillsteht, während die erste weiter schwingt.
Das lässt sich besonders gut an den Diagrammen erkennen. Wir haben weiterhin eine Fußpunktanregung und man sieht auch einen kleinen Ausschlag der ersten Masse, die zweite Masse steht jedoch vollkommen still.
Erhöhen wir nur weiter die Frequenz,
haben wir die Tilgerfrequenz durchschritten und beide Massen bewegen sich wieder.
Bei noch höherer Frequenz erreichen wir die zweite Eigenfrequenz, die zweite Resonanz.
Beide Massen schlagen wieder extrem aus.
Schalten wir das System nun ab und die Frequenz reduziert sich bis auf null, bis zum Stillstand, so durchlaufen wir alle Phänomene nochmal. Die beiden Eigenfrequenzen und die Tilgung.
Wir haben nun gut im Experiment detektieren können, wo die Eigenfrequenz und die Tilgerfrequenz dieses Schwingungssystems liegen.
Ein Architekt beispielsweise, der ein erdbebensicheres Gebäude plant, kann die Eigenfrequenzen des Gebäudes natürlich nicht vorab experimentell bestimmen. Er ist darauf angewiesen, dass das Problem in die Sprache der Mathematik übersetzt und dort gelöst wird.
Dies machen wir nun für unseren Zwei-Freihheitsgrad-Schwinger.
Die Dynamik lässt sich unter Vernachlässigung der Dämpfung, was hier der Fall ist, durch folgende zwei Differentialgleichungen beschreiben.
m_1 steht dabei für die Masse 1,
x_1 Zweipunkt für die zweite zeitliche Ableitung der Strecke, also die Beschleunigung,
c die Federsteifigkeit, der im Versuch verwendeten Federn, sowie der Relativweg, zwischen den beiden Massen x_2 und x_1.
Und die Gleichung ist null.
Die zweite Differentialgleichung beinhaltet die Masse der zweiten Masse, sowie deren Beschleunigung plus wieder die Federsteifigkeit c, sowie die Relativbewegung der Massen zueinander
und die Fußpunkterregung. Diese besteht wieder aus der Federsteifigkeit und dem Weg, den die Erregung macht.
Kommen wir noch einmal auf die praktische Anwendung zurück.
Angenommen ein Architekt möchte in einem Gebiet, das oft von Erdbeben heimgesucht wird, ein Gebäude errichten, das im Falle eines erneuten Bebens möglichst wenig schwanken soll.
Wir identifizieren damit unser Gebäude mit Masse 2. Aufgrund vorangegangener Erdbeben weiß man, mit welcher Frequenz die Erdstöße wahrscheinlich eintreffen.
Es ist damit die Frequenz der Fußpunktanregung bekannt und diese ist im Falle der Tilgung identisch mit der Frequenz, mit der Masse 1 schwingt.
Man bringt nun – meistens sehr weit oben – eine Masse 1 mit Federn im Inneren des Gebäudes an.
Wenn man also die Tilgungsfrequenz kennt und eine Masse 1 vorgibt, kann man sich mit Hilfe dieser Formel ausrechnen, welche Federkonstante c diese Federn haben müssen.
Falls man sich nicht verrechnet hat und ein neues Erdbeben mit vorherigen vergleichbar ist, dann beginnt nur Masse 1 oben im Gebäude zu schwingen, das Gebäude selbst bewegt sich jedoch nicht bzw. nur wenig.