Hallo, mein Name ist Sebastian und ich bin Maschinenbaustudent an der Hochschule Darmstadt.
Heute präsentiere ich euch zum Thema Schwingungen den Versuchsaufbau des Zwei-Massen-Schwingers.
Schwingungen spielen beispielsweiße im Maschinenbau, dem Bauingenieurwesen und der Architektur eine große Rolle.
Wer kennt nicht die derart spektakulären Bilder von Brücken, die in Schwingungen geraten, dass sie letztendlich zerbrechen.
Doch was ist in diesem Zusammenhang eine Fußpunktanregung?
Hat man ein schwingungsfähiges System wie dieses, welches auf dem Boden steht und dieser selbst Schwingungen ausführt, spricht man von einer Fußpunktanregung.
Dies können zum Beispiel Erdstöße bei einem Erdbeben sein, die das Gebäude zum Schwingen bringen, oder die Schwingungen des Hallenbodens in einer Industriehalle, der Schwingungen von einer schlecht gelagerten Maschine über den Boden auf andere Maschinen überträgt.
Oder dieses Beispiel, das kennt sicher jeder: Ihr fahrt mit dem Auto über eine unebene Straße, zum Beispiel den alten Teil einer Autobahn mit Betonplatten.
Die regelmäßigen Stöße zwischen den Betonplatten regen das System Karosserie, Fahrwerk, Radaufhängung und Achsträger und schließlich die Räder zum Schwingen an.
Würde man jedoch schnell genug über die Autobahn fahren, so würde das Auto ab einer gewissen Geschwindigkeit ganz ruhig auf der Straße liegen.
Die Frage ist nun, wie lässt sich ein solches Schwingungssystem mathematisch beschreiben?
Welche Schlüsse lassen sich daraus ziehen und welche Erkenntnisse zum Beispiel für den Bau von erdbebensicheren Gebäuden?
Der Versuchsaufbau des fußpunkterregten Zwei-Massen-Schwingers besteht aus einem Elektromotor, der eine Exenterwelle antreibt, die für die Fußpunktanregung sorgt, der ersten Masse und der zweiten Masse, die mit einer Feder untereinander verbunden sind,
sowie eine Feder, die die Fußpunktanregung mit der zweiten Masse verbindet, sowie drei Wegsensoren, die die jeweiligen Massen detektieren.
Starten wir nun den Versuchsaufbau.
Man kann nun erkennen, dass die Fußpunktanregung die erste und die zweite Masse harmonisch schwingen lässt.
Kommen wir nun zum ersten Phänomen eines solchen Schwingungsverhaltens und zwar der ersten Resonanzfrequenz.
Es ist deutlich zu erkennen, dass die erste und die zweite Masse einen extremen Ausschlag aufweisen, im Gegensatz zur Fußpunktanregung.
Wir haben die erste Resonanzfrequenz nun durchschritten.
Kommen wir nun zum nächsten Phänomen, der Tilgung.
Bei der Tilgung kann man feststellen, dass trotzt weiterhin vorherrschender Fußpunktanregung, die zweite Masse komplett stillsteht, während die erste weiter schwingt.
Das lässt sich besonders gut an den Diagrammen erkennen. Wir haben weiterhin eine Fußpunktanregung und man sieht auch einen kleinen Ausschlag der ersten Masse, die zweite Masse steht jedoch vollkommen still.
Erhöhen wir nur weiter die Frequenz,
haben wir die Tilgerfrequenz durchschritten und beide Massen bewegen sich wieder.
Bei noch höherer Frequenz erreichen wir die zweite Eigenfrequenz, die zweite Resonanz.
Beide Massen schlagen wieder extrem aus.
Schalten wir das System nun ab und die Frequenz reduziert sich bis auf null, bis zum Stillstand, so durchlaufen wir alle Phänomene nochmal. Die beiden Eigenfrequenzen und die Tilgung.
Wir haben nun gut im Experiment detektieren können, wo die Eigenfrequenz und die Tilgerfrequenz dieses Schwingungssystems liegen.
Ein Architekt beispielsweise, der ein erdbebensicheres Gebäude plant, kann die Eigenfrequenzen des Gebäudes natürlich nicht vorab experimentell bestimmen. Er ist darauf angewiesen, dass das Problem in die Sprache der Mathematik übersetzt und dort gelöst wird.
Dies machen wir nun für unseren Zwei-Freihheitsgrad-Schwinger.
Die Dynamik lässt sich unter Vernachlässigung der Dämpfung, was hier der Fall ist, durch folgende zwei Differentialgleichungen beschreiben.
m_1 steht dabei für die Masse 1,
x_1 Zweipunkt für die zweite zeitliche Ableitung der Strecke, also die Beschleunigung,
c die Federsteifigkeit, der im Versuch verwendeten Federn, sowie der Relativweg, zwischen den beiden Massen x_2 und x_1.
Und die Gleichung ist null.
Die zweite Differentialgleichung beinhaltet die Masse der zweiten Masse, sowie deren Beschleunigung plus wieder die Federsteifigkeit c, sowie die Relativbewegung der Massen zueinander
und die Fußpunkterregung. Diese besteht wieder aus der Federsteifigkeit und dem Weg, den die Erregung macht.
Das sind die Formeln, die Sebastian gerade vorgestellt hat. Sie enthalten zweiten Ableitungen der zeitabhängigen Auslenkungen x_1 und x_2 der Massen m_1 und m_2.
Da die rechte Seite dieses Gleichungssystems nicht nur Nullen enthält, liegt ein inhomogenes Differentialgleichungssystem vor.
Zunächst wollen wir uns mit dem Phänomen der Resonanz befassen. Um die Resonanzfrequenzen eines Systems zu berechnen, wertet man die Gleichungen ohne Fußpunktanregung aus. Das bedeutet, die rechte Seite ist nun komplett Null und es liegt somit ein homogenes Gleichungssystem vor.
In Matrizenschreibweise lässt sich das Problem nun so notieren. x(t) ist dabei ein zeitabhängiger Vektor, dessen Komponenten die zeitabhängigen Auslenkungen x_1(t) und x_2(t) der Massen m_1 und m_2 sind.
Da es sich um ein Schwingungssystem handelt, sind gängige Ansätze für die Zeitabhängigkeit der Auslenkung Sinus- oder Cosinusfunktionen oder auch e-Funktionen.
Weil es sich sehr gut mit e-Funktionen rechnen lässt, wurde dieser Ansatz gewählt, wobei lambda ein noch näher zu bestimmender Parameter ist.
Die zeitunabhängigen Größen x_1 und x_2 sind dann die maximalen Amplituden, auf die wir in den weiteren Rechnungen jedoch nicht weiter eingehen werden.
Wir setzen diesen Ansatz in unsere Gleichung ein und bilden auch gleich die zweiten Ableitung der e-Funktion.
Damit erhalten wir diesen Ausdruck, der sich durch Ausklammern und Matrizenaddition soweit zusammenfassen lässt.
Wir haben nun ein Produkt mit drei Faktoren vor uns und es greift der Merksatz, den jeder und jede aus der Schulzeit kennen sollte:
„Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.“
Dass der letzte Faktor nie Null werden kann, muss man wissen.
Schließlich ist die e-Funktion eine elementare Funktion, deren Aussehen und Eigenschaften jedem Studierenden aus dem MINT-Bereich vertraut sein muss.
Wenn der nächste Faktor Null wäre, würde das bedeuten, dass die Auslenkungen x_1 und x_2 beide Null wären.
Das würde bedeutet, dass die Amplituden Null wären, das System also überhaupt nicht schwingen würde.
Diese triviale Lösung lassen wir außer Acht und konzentrieren uns auf die Matrix.
Das Produkt ist auch Null, wenn die Matrix eine sogenannte singuläre Matrix ist.
Eine singuläre Matrix erkennt man daran, dass ihre Determinante Null ist.
Die Determinante einer Matrix mit zwei Zeilen und zwei Spalten berechnet sich als Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Elemente auf der Nebendiagonalen.
Und für unser Beispiel erhalten wir:
Den Term in der Klammer nennt man charakteristisches Polynom und lambda sind die sogenannten Eigenwerte.
Die Herleitung des charakteristischen Polynoms scheitert leider oft am nicht Beherrschen absoluter mathematischer Basics wie:
Hat man es aber bis hierhin geschafft, löst man die Gleichung mittels Substitution und pq-Formel.
Wie wertet man nun dieses Ergebnis aus, wenn die Massen und die Federkonstante c gegeben sind?
Welche Schlüsse können wir daraus für unser Schwingungssystem ziehen?
Zunächst einmal berechnen wir die Eigenwerte. Die Eigenwerte sind hier rein imaginär. Das zeigt dem Ingenieur, dass es sich um eine ungedämpfte Schwingung handelt.
Hinter den Eigenwerten des homogenen Gleichungssystems verbergen sich die Resonanzfrequenzen.
Die Beträge der Eigenwerte geben uns die Kreisfrequenzen omega im Resonanzfall.
Daraus lassen sich die Resonanzfrequenzen f berechnen und mit dem Experiment vergleichen. 00:11:5 Kommen wir zum zweiten interessanten Phänomen, der Tilgung, für deren mathematische Beschreibung wir nun das System inklusive Fußpunktanregung betrachten müssen. Bei der Tilgung steht die untere Masse still, was die Differentialgleichungen stark vereinfacht. Dadurch kann man beide Gleichungen mittels Additionsverfahren zu einer zusammenfassen. Es bewegt sich nur Masse 1 und zwar mit der gleichen Frequenz und Amplitude wie die Anregung, wie man anhand der Screenshots vielleicht erkennen kann. Deshalb wählt man für die zeitabhängige Auslenkung für Masse 1 den identischen Ansatz wie für die Fußpunktanregung. Setzt man diesen Ansatz in die verbliebene Differentialgleichung ein, erhält man diesen Ausdruck, der sich leicht nach lambda zum Quadrat auflösen lässt. Der Bruch kann noch gekürzt werden, so dass wir zuletzt für die Kreisfrequenz omega bei der Tilgung einen Wert von rund 49 Hz berechnen können, was einer Frequenz f von etwa 7,8 Hz entspricht. Kommen wir noch einmal auf die praktische Anwendung zurück. Angenommen ein Architekt möchte in einem Gebiet, das oft von Erdbeben heimgesucht wird, ein Gebäude errichten, das im Falle eines erneuten Bebens möglichst wenig schwanken soll. Wir identifizieren damit unser Gebäude mit Masse 2. Aufgrund vorangegangener Erdbeben weiß man, mit welcher Frequenz die Erdstöße wahrscheinlich eintreffen. Es ist damit die Frequenz der Fußpunktanregung bekannt und diese ist im Falle der Tilgung identisch mit der Frequenz, mit der Masse 1 schwingt. Man bringt nun – meistens sehr weit oben – eine Masse 1 mit Federn im Inneren des Gebäudes an. Wenn man also die Tilgungsfrequenz kennt und eine Masse 1 vorgibt, kann man sich mit Hilfe dieser Formel ausrechnen, welche Federkonstante c diese Federn haben müssen. Falls man sich nicht verrechnet hat und ein neues Erdbeben mit vorherigen vergleichbar ist, dann beginnt nur Masse 1 oben im Gebäude zu schwingen, das Gebäude selbst bewegt sich jedoch nicht bzw. nur wenig.