In diesen hektischen Zeiten ist es besonders wichtig nicht außer Puste zu kommen. Doch wie können wir mittels Wearable Devices, tragbaren Sensoren, unseren Vitalzustand in vivo erfassen?
Wie können wir unseren Trainingszustand verbessern und sogar Krankheiten erkennen, bevor sie auftreten? Mit diesen Fragen beschäftigt sich die Forschung heute.
Guten Tag, mein Name ist Michael Muma vom Fachgebiet Signalverarbeitung hier an der TU Darmstadt. Ich beschäftige mich mit biomedizinischen Fragen.
Insbesondere geht es bei meiner Forschung darum aus Signalen Informationen zu extrahieren.
Die Elektrocardiographie misst die elektrische Aktivität des Herzens.
Die Herzaktion wird mithilfe von Elektroden auf der Haut abgeleitet und als eine zeitabhängige Funktion aufgezeichnet. Wiederkehrende elektrische Impulse halten einen rhythmischen Herzschlag aufrecht.
Der schwache elektrische Strom wird beim EKG über Elektroden an den Extremitäten oder der Brust gemessen. In diesem Beispiel wird das EKG in einer einfachen Dreieckskonstellation an den Händen gemessen.
Die Spannungsunterschiede werden zwischen Elektroden mit entgegengesetzter Polarität dargestellt.
Ein Photoplethysmograph, PPG, ist ein optischer Sensor, der aus den Variationen der gemessenen Lichtintensität ein Signal errechnet, das Information über den Puls enthält.
Die Lichtintensität schwankt also z.B. mit der Menge an Blut, das gerade durch die Ateriolen im Unterhautgewebe fließt. Der Sensor selbst besteht aus einer lichtimmitierenden Diode, LED, welche Licht auf die Haut abgibt, sowie einer Photodiode.
Die Photodiode wird in der Regel neben der LED platziert und erfasst das reflektierte Licht.
Es gibt verschiedene Arten von PPG-Sensoren. Einige werden an der Fingerspitze, andere am Handgelenk, wie z.B. bei Smartwatches und Fitnesstrackern, angebracht. Aber andere Stellen wie die Ohrläppchen sind ebenfalls möglich.
Auf der linken Seite sehen wir ein PPG-Signal und auf der rechten Seite das synchron dazu gemessene EKG-Signal.
Beide sind in Ruhe gemessen und wir können daraus einfach die Pulsinformation, also den Abstand zwischen den Peaks, ableiten.
So, wir haben jetzt über die Messung des Elektrocardiogramm und des Photoplethysmogramm zwei verschiedene Zugänge zu unserer Herzrate bekommen, ein elektrisches Verfahren und ein optisches Verfahren.
Das EKG Signal hat eine ganz starke Welle. Das ist die sogenannte R-Welle hier. Und die können wir in unserem Signal detektieren.
Das heißt also: wenn wir diese Punkte finden, dann können wir die Abstände zwischen aufeinander folgenden Punkten bestimmen, um so eine Herzrate in diesem Zeitpunkt zu bekommen.
Und wenn wir viele von diesen Herzraten haben, dann wird sich eine Verteilung bilden. Da werde ich gleich noch etwas drüber erklären.
Zweitens hatten wir das Photophlethysmogramm, das PPG-Signal. Das war etwas weniger detailliert, also wie eine verwaschene Version dieses elektrischen Signals. Aber auch hier gibt es einen charakteristischen Punkt, diese sogenannte P-Welle.
Wenn wir diese Punkte im Signal mit einem Algorithmus detektieren, dann können wir auch hier wieder Intervalle bilden, die mit unserer Herzrate korrespondieren.
Und wenn wir jetzt zum Beispiel uns vorstellen, wir haben einen gesunden Menschen, der in Ruhe sitzt, dann wird diese um einen bestimmten Mittelwert, den sogenannten Ruhepuls, schwanken.
Wenn wir dem jetzt den griechischen Buchstaben µ geben und wir die Häufigkeit auftragen, wird dieser Wert natürlich häufig vorkommen, aber wir werden auch leichte Schwankungen haben.
Mal ist der Puls ein bisschen niedriger, mal ein bisschen höher und immer seltener treten diese ganz großen oder ganz kleinen Werte auf.
Es kann aber auch mal passieren, dass solch ein sehr unwahrscheinlicher Wert, solch eine niedrige Herzrate oder solch eine extrem hohe Rate auftritt.
In vielen Fällen ist die allerdings weniger durch einen tatsächlichen Herzschlag gebildet, sondern durch einen Fehler im Algorithmus, durch ein Messartefakt.
Und wenn wir uns jetzt dieses Bild hier anschauen, dann können wir diese zentralen Punkte sehr gut mit einer Gaußglocke modellieren.
Das heißt also, wir beschreiben diese empirische Verteilung der Herzraten, modellieren sie mit einer Normalverteilung.
Und dann haben wir einen Mittelwert, wir haben eine Standardabweichung.
Und können diese Werte, die außerhalb von einem bestimmten Intervall um den Mittelwert auftreten, als sehr unwahrscheinlich und als Ausreißer charakterisieren.
Da hilft uns die Mathematik, um dann diesen Mittelwert robust zu schätzen und somit eine Schätzung der typischen Herzrate zu bekommen.
Die Gauß’sche Glockenkurve oder auch Gauß’sche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist unser Einstieg in den mathematischen Teil.
Die Gauß’sche Glockenkurve wird durch die hier gezeigte Funktion beschrieben und enthält die beiden Parameter µ oder auch Erwartungswert und die Varianz.
Wie beeinflussen diese beiden Parameter das Aussehen der Glockenkurve? Wir fangen mit einem einfachen Beispiel an.
Der Erwartungswert soll 0 sein und die Varianz 1.
Der Graph sieht dann so aus.
Und nun verändern wir zunächst einmal den Erwartungswert und erhöhen ihn von 0 auf 1 und lassen die Varianz konstant.
Man sieht, durch diese Veränderung verschiebt sich die Glockenkurve um eine Einheit nach rechts.
Das heißt, wir können jetzt schon einmal festhalten: der Erwartungswert gibt an, wo sich das Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion befindet.
Wenn wir den Erwartungswert variieren, verschieben wir die Glockenkurve nach links oder rechts, ohne dass sich ihre Form verändert.
Wir wirkt sich demgegenüber eine Veränderung der Varianz aus?
Jetzt gehen wir im nächsten Schritt von dieser Kurve aus und verändern nun die Varianz von 1 auf 1,5.
Die Kurve wird dadurch deutlich breiter und gleichzeitig in der Höhe gestaucht.
Das liegt daran, dass die Gauß’sche Glockenkurve oder auch Gauß’sche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion normiert ist.
Der Flächeninhalt unter der Kurve ist immer 1. Deshalb sind verbreiterte Kurven automatisch weniger hoch.
Umgekehrt ist es, wenn die Varianz verkleinert wird, hier auf 0,5.
Die Kurve wird nun schmaler, dafür aber in der Höhe gestreckt.
Anhand der Kurve lässt sich nicht nur der Erwartungswert µ ablesen, auch die Varianz findet sich wieder.
Die Glockenkurve hat zwei Wendepunkte,
hier eingezeichnet für die lilafarbene Kurve,
und deren seitlicher Abstand
ist genau zweimal die Standardabweichung Sigma.
Daraus lässt sich die Varianz bestimmen.
Das waren vorab einige grundlegende Eigenschaften der Gauß’schen Glockenkurve.
angenommen, wir haben eine Person mit einem Ruhepuls von 60 Schlägen pro Minute.
Das entspricht einer Herzrate (also dem zeitlichen Abstand zwischen zwei Peaks) von einer Sekunde.
Wenn wir die Herzrate dieser Person fortlaufend messen, wird sich nicht immer eine Herzrate von einer Sekunde ergeben, sondern sie wird manchmal auch etwas darüber oder darunter liegen.
Das Schaubild zeigt eine mögliche Verteilung der gemessenen Herzraten, indem nach oben die relative Häufigkeit aufgetragen wurde, mit der eine bestimmte Herzrate im Messzeitraum auftrat.
Diese Messungen sollen nun durch eine Gaußverteilung angenähert werden, denn der dazugehörige Erwartungswert µ ist der Wert, der letztendlich umgerechnet auf Schläge pro Minute der Person als Puls angezeigt wird,
die Varianz ist die Maßzahl für die medizinisch interessante Herzratenvariabilität und die Standardabweichung hilft uns zu entscheiden, wann wir einen Messwert als Ausreißer betrachten dürfen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert mehr als dreimal Sigma vom Erwartungswert entfernt liegt, ist so gering, dass man davon ausgehen darf, dass dies ein Messfehler ist.
Wie übersetzt man nun diese Messung in die Sprache Mathematik? Wenn wir eine Messung durchführen, machen wir ein sogenanntes Zufallsexperiment, dessen Ausgang wir nicht kennen.
Die Herzrate, also die Größe, für die wir uns interessieren, ist die dazugehörende Zufallsvariable.
Die ermittelten Messwerte nennt man Realisierungen.
Um ein Schaubild wie hier zu erhalten, machen wir N Zufallsexperimente hintereinander.
Wir machen nun zwei entscheidende Annahmen:
Mit diesen beiden Annahmen können wir sagen, dass für jede Zufallsvariable die hier gezeigte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit identischem µ und Varianz vorausgesetzt werden darf.
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aller N Zufallsvariablen
berechnet sich als Produkt der Dichtefunktionen der einzelnen Zufallsvariablen.
Anhand der Notation erkennt man, dass die N Realisierungen, zusammengefasst in dem Vektor HR,
nun die vorgegebenen Parameter sind und µ und Sigma die Variablen.
Die Aufgabe besteht darin, µ und Sigma so zu bestimmen, dass der Wert der Gauß’schen Likelihood-Funktion maximal ist.
Das bedeutet, wir suchen die Kombination von µ und Sigma, für die die Verteilung der Messwerte am plausibelsten ist.
Erfreulicherweise benötigt man für die Lösung dieser Aufgabe nur Mathematikkenntnisse aus den Grundlagenvorlesungen.
Weil wir nach einem Maximum suchen, müssen wir die 1. Ableitung Null setzen.
Das ist bei einem Produkt aus N Faktoren aufwändig.
Es wäre viel leichter, wenn man statt dessen lediglich eine Summe ableiten müsste.
Mit einer Summe zu arbeiten hat noch einen weiteren Vorteil:
kleine Werte können bei Produkten zu numerischen Instabilitäten führen. Das ist bei Summen ausgeschlossen.
Aber wie macht man nun aus einem Produkt eine Summe?
„Nichts leichter als das“, denkt sich der Mathematiker oder die Mathematikerin, logarithmiert die Likelihood-Funktion und nutzt dieses wichtige Logarithmengesetz.
Weil der Logarithmus eine streng monotone Funktion ist, verändert sich durch das Logarithmieren nicht die Position des Maximums, denn - nicht vergessen - danach suchen wir letztendlich.
Mit Hilfe weiterer elementarer Rechengesetze lassen sich die Summen vereinfachen. Die Wurzel im Nenner schreiben wir als hoch minus ½, und Exponenten unter dem Logarithmus können wir als Faktor vor den Logarithmus schreiben.
Weil unter der ersten Summe ein Term steht, der nicht von der Laufvariable i abhängt, können wir diese Summe mit Hilfe dieses Gesetzes noch umschreiben
und erhalten abschließend diesen Ausdruck für die logarithmierte Gauß’sche Likelihood-Funktion, die wir maximieren wollen.
Wir haben eine Funktion, die von zwei Variablen abhängt. Das bedeutet, wir müssen partiell ableiten.
Fangen wir an mit der partiellen Ableitung nach µ. Hierzu benötigen wir die Summenregel und die Kettenregel.
Der erste Term enthält die Variable µ nicht und fällt beim Ableiten weg, für den zweiten Term erhalten wir diesen Ausdruck
Für die partielle Ableitung nach Sigma muss man zusätzlich die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen.
Diese partiellen Ableitungen werden nun Null gesetzt,
um Schätzungen für µ und Sigma zu erhalten und wir beginnen mit der partiellen Ableitung nach µ.
Entsprechend verfahren wir mit der partiellen Ableitung nach Sigma
und stellen entsprechend um nach Sigma Quadrat.
Holen wir uns jetzt das Zwischenergebnis für die partielle Ableitung nach µ mit dazu und interpretieren die Ergebnisse:
Das war jetzt ein kleiner Einblick in die Mathematik, die sich mit der Auswertung von Signalen im Zeitbereich und dem Ermitteln von Schätzern befasst.
Dabei wurde auf viele Basics zurückgegriffen, die bereits in den mathematischen Grundlagenvorlesungen behandelt werden.
Natürlich sind die hier gezeigten Formeln und Modellierung nur als anschauliche Beispiele zu verstehen. Dennoch ist die Mathematik die fundamentale Basis für das, was wir heute als Data Science und Machine Learning bezeichnen.
Sie erlaubt es uns, komplexe Zusammenhänge abzubilden und mit Unsicherheiten in den Daten umzugehen.
Mithilfe von fortgeschrittenen Algorithmen in Kombination mit neuen Wearable Devices und Smartphones können wir heute medizinisch relevante Parameter wie z.B. den Blutdruck aus einfachen Sensoren erlernen.
Wir haben somit in Zukunft die Möglichkeit, die Bevölkerung mit medizinischen Geräten auszustatten und schweren Krankheitsverläufen vorzubeugen.